Работа посвящена исследованию уравнения типа Фишера-КПП с особой правой частью в виде функции Моно. Данный тип уравнения часто используется при моделировании биологических систем, например, в системе уравнений, описывающей рост опухолевых клеток. Несмотря на большое количество работ, посвященных исследованию уравнения данного типа с различными источниками, подобный тип источника редко встречается в исследованиях. Функция Моно возникает в случае, когда речь идет о биологических популяциях, которые могут вступать в реакцию только при адсорбции, а также в ряде многих других случаях. Целью данной работы является исследование данного типа уравнений. Для поставленной задачи была доказана теорема сравнения и теорема о постоянстве формы волны во времени, а также найдено поведение решения уравнения в окрестности нуля и в бесконечности. Результаты аналитического исследования были подтверждены при численном моделировании.
уравнение КПП, кинетика Моно, нелинейное параболическое уравнение, теорема сравнения, модели биологических систем, численное моделирование, решение типа бегущей волны
1. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002, 432 с. [Polyanin A.D., Zaicev V.F. Handbook of nonlinear equations of mathematical physics: exact solutions. Moscow: Fizmatlit, 2002, 432 p. (In Russ.)]
2. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987, 480 с. [Samarski A.A., Galaktionov V.A., Kurdumov S.P., Mihailov A.P. Regimes with aggravation in the problems for parabolic equations quasilinear. Moscow: Science, 1987, 480 p. (In Russ.)]
3. Колобов А.В., Анашкина А.А., Губернов В.В., Полежаев А.А. Математическая модель роста опухоли с учетом дихотомии миграции и пролиферации. Компьютерные исследования и моделирование, 2009, т. 1, № 4, с. 415-422. [Kolobov A.V., Anashkin A.A., Gubernev V.V., Polezhev A.A. Mathematical model of tumor growth taking into account the dichotomy of migration and proliferation. Computer research and modeling, vol. 1, no. 4, pp. 415-422, 2009 (In Russ.)]
4. Буляница А.Л., Курочкин В. Е. Исследование процессов упорядочивания в открытых системах (на примере эволюции колонии несовершенных мицелиальных грибов). Научное приборостроение, 2000, т. 10, № 2, c. 43-49. [Bulyanica A.L., Kurochkin V.E. Research of processes of ordering in open systems (on the example of the evolution of colonies of imperfect mycelial fungi). Scientific instrument manufacturing, 2000, vol. 10, no. 2, pp 43-49. (In Russ.)]
5. Idiyatullina A.R., Vodopyanova L.L., Vodopyanov. V.V. Mathematical Modelling of the Micromicetes Colonies Growth Applying the Diffusion Equation. Advances in Microbiology, 2013, no. 3, pp. 7-10.
6. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме. Бюллет. МГУ, 1937, т. 1, № 6, с. 1-26. [Kolmogorov A.N, Petroovskii I.G, Piskunov N.S. Investigation of the diffusion equation connected with the increase in the amount of substance and its application to one biological problem. Bulletin MSU, vol. 1, no. 6, pp. 1-26, 1937 (In Russ.)]
7. Takasi K. On the maximum principle for quasi-linear parabolic equations of the second order. Proc. Japan Acad., 1963, vol. 39, no. 4, pp. 211-216.
